正余弦函数的周期性与奇偶性PPT

《三角函数的图象与性质》三角函数PPT(第二课时正、余弦函数的周期性与奇偶性)

第一部分内容：学习目标

了解周期函数的概念

理解正弦函数与余弦函数的周期性，会求函数的周期

理解三角函数的奇偶性以及对称性，会判断给定函数的奇偶性

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三角函数的图象与性质PPT，第二部分内容：自主学习

预习教材P201－P203，并思考以下问题：

1．周期函数的定义是什么？

2．如何利用周期函数的定义求正、余弦函数的周期？

3．正、余弦函数的奇偶性分别是什么？

1．函数的周期性

(1)周期函数：对于函数f(x)，如果存在一个______________，使得当x取定义域内的每一个值时，都有_________________，那么函数f(x)就叫做周期函数．非零常数T叫做这个函数的周期．

(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的______，那么这个最小______就叫做f(x)的_____________．

■名师点拨

对周期函数的两点说明

(1)并不是每一个函数都是周期函数，若函数具有周期性，则其周期也不一定唯一．

(2)如果T是函数f(x)的一个周期，则nT(n∈Z且n≠0)也是f(x)的周期．

2.正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性

■名师点拨

(1)正、余弦函数的周期性

①正弦函数和余弦函数所具有的周期性实质上是由终边相同的角具有的周期性所决定的；

②由诱导公式sin(x＋2kπ)＝sin x(k∈Z)，cos(x＋2kπ)＝

cos x(k∈Z)也可以说明它们的周期性．

③函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)的周期T＝2πω.

(2)关于正、余弦函数的奇偶性

①正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数，反映在图象上，正弦曲线关于原点O对称，余弦曲线关于y轴对称；

②正弦曲线、余弦曲线既是中心对称图形又是轴对称图形．

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)若sinπ4＋π2＝sinπ4，则π2是正弦函数y＝sin x的一个周期．(　　)

(2)函数y＝sin x，x∈(－π，π]是奇函数．(　　)

(3)因为sin(2x＋2π)＝sin 2x，所以函数y＝sin 2x的最小正周期为2π.(　　)

(4)若T是函数f(x)的周期，则kT，k∈N*也是函数f(x)的周期．(　　)

下列函数中，最小正周期为4π的是(　　)

A．y＝sin x　B．y＝cos x

C．y＝sinx2  D．y＝cos 2x

函数y＝2sin2x＋π2是(　　)

A．周期为π的奇函数  B．周期为π的偶函数

C．周期为2π的奇函数  D．周期为2π的偶函数

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三角函数的图象与性质PPT，第三部分内容：讲练互动

正、余弦函数的周期问题

求下列三角函数的最小正周期T：

(1)f(x)＝sinx＋π3；

(2)f(x)＝12cos(2x＋π3)；

(3)f(x)＝|sin x|.

求函数周期的方法

(1)定义法：紧扣周期函数的定义，寻求对任意实数x都满足f(x＋T)＝f(x)的非零常数T.该方法主要适用于抽象函数．

(2)公式法：对形如y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω＞0)的函数，可利用T＝2πω来求．

(3)图象法：可画出函数的图象，借助于图象判断函数的周期，特别是对于含绝对值的函数一般采用此法．　

1．设函数f(x)＝sin12x－π3，则f(x)的最小正周期为(　　)

A．π2　　B．π

C．2π  D．4π

2．设a＞0，若函数y＝sin(ax＋π)的最小正周期是π，则a＝________．

正、余弦函数的奇偶性问题

判断下列函数的奇偶性．

(1)f(x)＝cos2x＋5π2；

(2)f(x)＝sin(cos x)．

利用定义判断函数奇偶性的三个步骤

[注意]与三角函数相关的奇偶性问题，往往需要先利用诱导公式化简，再判断函数的奇偶性．　

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三角函数的图象与性质PPT，第四部分内容：达标反馈

1．设函数f(x)＝sin(2x－π3)，则f(x)的最小正周期为(　　)

A．π2　　B．π

C．2π  D．4π

2．已知a∈R，函数f(x)＝sin x－|a|，x∈R为奇函数，则a等于________．

3．函数f(x)＝2cos 2x＋1的图象关于________对称(填“原点”或“y轴”)．

4．判断下列函数的奇偶性：

(1)f(x)＝sin3x4＋3π2；

(2)f(x)＝sin |x|；

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