《特殊的平行四边形》PPT课件

矩形的定义

有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，也就是长方形.

矩形是有一个内角是直角的平行四边形，其它内角有什么特点呢？两条对角线有什么特点？

矩形的性质:

矩形的四个角都是直角；

矩形的对角线相等.

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

说明：在矩形ABCD中，设对角线AC和BD交于点O, 那么AC=BD.又根据平行四边形的性质知对角线互相平分，即OA=OC，OB=OD. 所以OA=OC=OB=OD=1/2AC=1/2BD.

... ... ...

例1 如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB=60°，AB=4cm，求矩形对角线的长.

解：因为四边形ABCD是矩形，

所以 AC与BD相等且互相平分.

所以OA=OB.

又AOB=600.

所以△OAB是等边三角形.

OA=AB=4cm.

所以矩形的对角线长AC=BD=2OA=8cm.

由矩形的定义可知，有一个角是直角的平行四边形是矩形，当平行四边形的一个角变为直角时，另外三个角都变为直角，并且两条对角线也变成相等的线段.

还有其他的方法把一个平行四边形变成矩形吗？

... ... ...

1、已知矩形的周长是24，相邻两边之比是1：2，那么这个矩形的面积是____________

2、矩形的两条对角线的夹角为60°，一边长为10，则另一边长为____________

3、请在横线上写出结论，在括号里填理由

∵四边形ABCD是矩形

∴__________ (              )

1. 对角线相等且一组对边也相等的四边形是矩形． （      ）            

2. 两条对角线交点到四个顶点距离相等的四边形为矩形． （      ）

3. 有一组对边相等，一组对角是直角的四边形是矩形．（      ）

4. 有三个角都相等的四边形是矩形．（      ）

5. 具备条件____的四边形是矩形． （      ）

A．两条对角线相等      B．对角线互相垂直

C．一组对角是直角     D．有三个角是直角 

6. 能够判断一个四边形是矩形的条件是 （      ）

A．对角线相等                  B．对角线垂直

C．对角线互相平分且相等  D．对角线垂直且相等

... ... ...

1.什么是矩形？

2.矩形有哪些性质？

3.怎样判定一个平行四边形是矩形？

4.怎样判定一个四边形是矩形？

5.直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半.

... ... ...

菱形是轴对称图形，它的对角线所在的直线就是它的对称轴.

根据菱形的对称性易得菱形的如下性质：

菱形的四条边都相等；

菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.

1. 四边形ABCD是菱形，点O是两条对角线的交点，AB=5cm，AO=4cm,求两条对角线AC和BD的长.

2. 菱形的两条对角线的长分别是6cm和8cm, 求菱形的周长和面积.

3.已知菱形的周长是12cm，那么它的边长是______.

4.菱形ABCD中∠ABC＝60度，则∠BAC＝_______.

5.菱形的两条对角线的长分别为6cm和8cm，那么菱形的面积是_____. 

... ... ...

正方形有哪些性质？如何判断一个四边形是正方形？把它们写出来，并和同学交流一下，然后证明其中的一些结论？.

求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.

已知：如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点O.

求证：ABO、BCO、CDO、DAO是全等的等腰直角三角形

证明：因为四边形ABCD是正方形，

所以AC=BD，AC⊥BD.

AO=BO=CO=DO.

所以，△ABO、△BCO、△CDO、△DAO都是等腰直角三角形，并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO.

《特殊的平行四边形》PPT课件6 创设情景一 正方形是特殊的菱形 情景二 问题: 1.图中CD在平移时，这个图形始终是怎样的图形？ 2.当CD移动到CD位置，此时AD＝AB，四边形ABCD还是矩形吗..

《特殊的平行四边形》PPT课件5 情景创设 前面我们学习了平行四边形和矩形，知道了如果平行四边形有一个角是直角时成为什么图形? (矩形由角变化得到) 如果从边的角度将平行四边形特殊..

《特殊的平行四边形》PPT课件4 复习回顾 定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 试一试 已知△ABC是Rt△，ABC=Rt，BD是斜边AC上的中线 1.若BD=3cm则AC＝________cm 2 若C=30，A..

一、矩形：

定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.

性质：角：四个角是直角.

对角线：相等.

对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形.

直角三角形斜边上的中线等于斜边一半.

判定：平行四边形---一个角直角  对角线相等---矩形

四边形----三个角是直角----矩形

例1.矩形的一个内角平分线把矩形的一条边分成3cm和5cm两部分，则该矩形的面积是24或40cm2.

例2.已知：如图，矩形ABCD中，E是BC上一点，且有AE=AD.作DF⊥AE于F.

求证：CE=FE.

证明：连DE.

∵AE=AD，∴∠1=∠ADE.

∵DF⊥AE，∴∠1+∠2=90o.

∵矩形ABCD，

∴∠ADC=90o. ∠ADE+∠3=90o. ∴ ∠2=∠3.

又∵∠DFE=∠C=90o，

∴CE=FE（角平分线上的点到角两边距离相等）

... ... ...

二、菱形：

定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.

性质：边：四条边相等.

对角线：互相垂直，每一条对角线平分一组对角.

对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形.

判定：平行四边形---一组邻边相等  对角线互相垂直---菱形

四边形---四边相等---菱形

面积：S=ah=1/2mn

例5.已知：如图，△ABC中，∠C=90o，

AD是∠BAC的平分线.

CE⊥AB于E交AD于O，

DF⊥AB于F.

求证：四边形DCOF是菱形.

证明：∵AD是∠BAC的平分线，DF⊥AB，∠C=90o.

∴DF=DC.  又∵AD=AD.

∴Rt△ADF≌Rt△ADC（HL）. ∴∠1=∠2.

∵CE⊥AB，DF⊥AB. ∴DF//CE，∠1=∠3.

∴∠2=∠3. ∴OC=DC.

∴DF   OC. ∴四边形DCOF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）.

又∵DF=CD.

∴DCOF是菱形.（一组邻边相等的平行四边形是菱形）

... ... ...

三、正方形：

性质：角：四个角直角.

边：四边相等.

对角线：相等，互相垂直平分，且平分一组对角.

对轴性：既是中心对称图形，又是轴对称图形.

判定：矩形---一组邻边相等---正方形

菱形---一个角是直角---正方形

例7.已知：如图，ABCD是正方形，CE、BF交于O.且CE=BF.

求证：CE⊥BF.

证明：∵ABCD是正方形，

 ∴CD=BC. ∠D=∠BCD=90o.

又∵CE=BF. ∴Rt△CDE≌Rt△BCF（HL）

∴∠1=∠2. 

∵∠1+∠3=90o，

∴∠2+∠3=90o，  

∴∠COB=90o.  即CE⊥BF.

... ... ...

《特殊的平行四边形》PPT课件6 创设情景一 正方形是特殊的菱形 情景二 问题: 1.图中CD在平移时，这个图形始终是怎样的图形？ 2.当CD移动到CD位置，此时AD＝AB，四边形ABCD还是矩形吗..

《特殊的平行四边形》PPT课件5 情景创设 前面我们学习了平行四边形和矩形，知道了如果平行四边形有一个角是直角时成为什么图形? (矩形由角变化得到) 如果从边的角度将平行四边形特殊..

《特殊的平行四边形》PPT课件4 复习回顾 定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 试一试 已知△ABC是Rt△，ABC=Rt，BD是斜边AC上的中线 1.若BD=3cm则AC＝________cm 2 若C=30，A..

学 习 目 标

1．能用综合法来证明矩形的性质定理和判定定理以及相关结论．

2．能运用矩形的性质进行简单的证明与计算． 

3．体会在证明过程中所运用的归纳、类比、转化等数学思想方法. 

新 课 导 入

四边形---两组对边分别平行---平行四边形---一个角是直角---矩形

我们已经知道平行四边形是特殊的四边形，因此平行四边形除具有四边形的性质外，还有它的特殊性质，同样对于平行四边形来说有特殊情况即特殊的平行四边形，这堂课我们就来研究一种特殊的平行四边形—— 矩形

知 识 讲 解

分析：（1）矩形的形成过程是平行四边形的一个角由量变到质变的变化过程.

（2）矩形只比平行四边形多一个条件：“一个角是直角”，不能用“四个角都是直角的平行四边形是矩形”来定义矩形.

定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形

（3）矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的一切性质（共性），还具有它自己特殊的性质（个性）.

... ... ...

已知:如图,四边形ABCD是矩形.

求证:∠A=∠B=∠C=∠D=90°.

分析:由矩形的定义,利用对角相等,邻角互补可使问题得证.

证明: ∵ 四边形ABCD是矩形,

∴∠A=90°,四边形ABCD是平行四边形.

∴∠C=∠A=90°, ∠B=180°-∠A=90°, 

∠D=180°-∠A=90°.

∴四边形ABCD是矩形.

【定理】矩形的四个角都是直角.

... ... ...

⑴四条边都相等的四边形是菱形,有三个角是直角的四边形是_______

⑵有一个角是直角的________是矩形.

⑶对角线_______的平行四边形是矩形

⑷对角线互相平分且相等的四边形是_______

⑸有一个角是直角，且对角线___________的四边形是矩形.

随 堂 练 习

1.（2010·巴中中考）如图所示，已知□ABCD，下列条件：①AC=BD，②AB=AD，③∠1=∠2，④AB⊥BC中，能说明□ABCD是矩形的有________（填写序号）.

解析：根据对角线相等的平行四边形是矩形；矩形的定义.

答案：① ④

2.（2010·益阳中考）如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，AD是底边上的高，E为AC中点，则DE＝_____．

解析：根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，DE等于AC的一半，所以DE=4.

... ... ...

本 课 小 结

通过本课时的学习，需要我们掌握：

1.矩形的特有性质：

（1）矩形的四个角都是直角；

（2）矩形的对角线相等；

（3）推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

2.矩形的判定定理：

（1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；

（2）对角线相等的平行四边形是矩形；

（3）有三个角是直角的四边形是矩形。

《特殊的平行四边形》PPT课件6 创设情景一 正方形是特殊的菱形 情景二 问题: 1.图中CD在平移时，这个图形始终是怎样的图形？ 2.当CD移动到CD位置，此时AD＝AB，四边形ABCD还是矩形吗..

《特殊的平行四边形》PPT课件5 情景创设 前面我们学习了平行四边形和矩形，知道了如果平行四边形有一个角是直角时成为什么图形? (矩形由角变化得到) 如果从边的角度将平行四边形特殊..

《特殊的平行四边形》PPT课件4 复习回顾 定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 试一试 已知△ABC是Rt△，ABC=Rt，BD是斜边AC上的中线 1.若BD=3cm则AC＝________cm 2 若C=30，A..

学 习 目 标

1.经历探索菱形性质判定定理的过程；

2.掌握菱形性质和判定方法，培养学生的逻辑推理能力和有条理的表达能力.

知 识 讲 解

如果改变了边的长度，使两邻边相等，那么这个平行四边形成为怎样的四边形？

有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.

菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的一切性质．

菱形的性质定理1：菱形的四条边都相等.

已知:如图,四边形ABCD是菱形.

求证:AB=BC=CD=DA.

分析:由菱形的定义,利用平行四边形的性质可使问题得证.

证明:∵ 四边形ABCD是菱形,

∴AB=AD,四边形ABCD是平行四边形.

∴AB=CD,AD=BC.

∴ AB=BC=CD=AD.

... ... ...

1.菱形常用的判定方法：

（1）有一组_______相等的_____________叫做菱形.

（2）对角线互相______的平行四边形是菱形.

（3）对角线互相____________的四边形是菱形.

（4）有四条边______的四边形是菱形.

2.□ABCD的对角线AC与BD相交于点O，

（1）若AB=AD，则□ABCD是_____形；

（2）若AC=BD，则□ABCD是_____形；

（3）若∠ABC是直角，则□ABCD是_____形；

（4）若∠BAO=∠DAO，则□ABCD是_____形.

... ... ...

随 堂 练 习

1．（2010·盐城中考）如图所示，在菱形ABCD中，两条对角线AC＝6，BD＝8，则此菱形的边长为（   ）

A．5     B．6     C．8     D．10

【解析】选A.根据菱形的对角线互相垂直平分和勾股定理得菱形的边长为5

2．（2010·西安中考）若一个菱形的边长为2，则这个菱形两条对角线的平方和为（    ）

A．16      B．8       C．4      D．1

3．（2010 ·南通中考） 如图，菱形ABCD中，AB = 5，∠BCD = 120°，则对角线AC的长是______                  

【解析】根据菱形的对角线平分一组对角可得∠BAC = 60°，而AB=BC,则 △ABC是等边三角形，∴AC=AB=5.

... ... ...

本 课 小 结

通过本课时的学习，需要我们掌握：

1、定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.

2、菱形的性质定理：

（1）菱形的四条边都相等.

（2）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.

3、菱形的判定定理：

（1）四条边都相等的四边形是菱形.

（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形.

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《特殊的平行四边形》PPT课件6 创设情景一 正方形是特殊的菱形 情景二 问题: 1.图中CD在平移时，这个图形始终是怎样的图形？ 2.当CD移动到CD位置，此时AD＝AB，四边形ABCD还是矩形吗..

《特殊的平行四边形》PPT课件5 情景创设 前面我们学习了平行四边形和矩形，知道了如果平行四边形有一个角是直角时成为什么图形? (矩形由角变化得到) 如果从边的角度将平行四边形特殊..

《特殊的平行四边形》PPT课件4 复习回顾 定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 试一试 已知△ABC是Rt△，ABC=Rt，BD是斜边AC上的中线 1.若BD=3cm则AC＝________cm 2 若C=30，A..

1、经历探索正方形有关的性质和判定方法的过程，培养推理能力，养成主动探究习惯。

2、探索并掌握正方形有关的性质和判定方法。

3、能运用正方形有关的性质和判定方法解决问题。

请同学们阅读课本第26页，回答以下问题：

1、正方形的定义？

2、正方形的性质有哪些？

3、正方形是轴对称图形吗？

4、正方形的判断方法有哪些？

... ... ...

矩形----有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

菱形----有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

快速反应 

1. 有一组邻边相等的矩形叫做正方形。 

2. 有一个角是直角的菱形叫做正方形。     

有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形。

... ... ...

1、判断。

（1）正方形一定是矩形。（     ）

（2）正方形一定是菱形。（     ）

（3）菱形一定是正方形。（     ）

（4）矩形一定是正方形。（     ）

（5）正方形、矩形、菱形都是平行四边形。（     ）

2、在下列性质中，平行四边形具有的是______，矩形具有的是_______，菱形具有的________，正方形具有的是_________。

（1）四边都相等； （2）对角线互相平分；

（3）对角线相等； （4）对角线互相垂直；

（5）四个角都是直角；

（6）每条对角线平分一组对角；

（7）对边相等且平行；

（8）有两条对称轴。 

... ... ...

满足下列条件的四边形是不是正方形：

1、对角线互相垂直且相等的平行四边形；

2、对角线互相垂直的矩形；

3、对角线相等的菱形；

4、对角线互相垂直平分且相等的四 边形。

1、□ABCD是正方形须加的条件是（  ）

A、对角线互相垂直且相等   B、对角线相等

C、一组邻边相等   D、对角互补

2、矩形、菱形、正方形都有的性质是（   ）

A、对角线相等           B、对角线互相平分

C、对角线互相垂直    D、对角线平分一组对角

3、在平行四边形、菱形、矩形、正方形中，能找到一点，使该点到各边距离相等的四边形是（   ）

A、平行四边形、菱形    B、菱形、矩形

C、矩形、正方形          D、菱形、正方形

... ... ...

《特殊的平行四边形》PPT课件6 创设情景一 正方形是特殊的菱形 情景二 问题: 1.图中CD在平移时，这个图形始终是怎样的图形？ 2.当CD移动到CD位置，此时AD＝AB，四边形ABCD还是矩形吗..

《特殊的平行四边形》PPT课件5 情景创设 前面我们学习了平行四边形和矩形，知道了如果平行四边形有一个角是直角时成为什么图形? (矩形由角变化得到) 如果从边的角度将平行四边形特殊..

《特殊的平行四边形》PPT课件4 复习回顾 定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 试一试 已知△ABC是Rt△，ABC=Rt，BD是斜边AC上的中线 1.若BD=3cm则AC＝________cm 2 若C=30，A..

前面我们学习了平行四边形和矩形，知道了如果平行四边形有一个角是直角时,成为什么图形?

(矩形,由角变化得到)

如果从边的角度,将平行四边形特殊化,又会得到什么特殊的四边形呢?

在平行四边形中，如果内角大小保持不变仅改变边的长度，能否得到一个特殊的平行四边形？

有一组邻边相等的平行四边形叫菱形

探究菱形的性质

(1)观察得到的菱形, 它是轴对称图形吗?如果是，有几条对称轴?

对称轴之间有什么位置关系?

(2)从图中你能得到哪些结论?并说明理由.

提示:从边、角、对角线、等方面来探讨         

... ... ...

菱形的性质：

菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质.

由于平行四边形的对边相等，而菱形的邻边相等，故：

菱形的性质1：菱形的四条边都相等。

菱形的性质2：菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。

... ... ...

【菱形的面积公式】

菱形是特殊的平行四边形,那么能否利用平行四边形面积公式计算菱形的面积吗?

思考:计算菱形的面积除了上式方法外,利用对角线能 计算菱形的面积公式吗?

S菱形ABCD=S△ABD+S△BCD=1/2BD .OA+1/2BD.OC=1/2AC×BD 

面积：S菱形=底×高=对角线乘积的一半

... ... ...

1.菱形ABCD中∠ABC＝60度，则∠BAC＝_______.

2.菱形的面积为24cm2,一条对角线的长为6cm，则另一条对角线长为 _____ 

3.已知菱形的两个邻角的比是1：2，较短的对角线长是  8cm，则菱形的周长为_____。

我们在学习平行四边形的判定和矩形的判定时，我们首先想到的第一种方法是什么？那么类比着它们，菱形的第一种判定方法是什么？

根据定义得：一组邻边相等的平行四边形是菱形.

... ... ...

菱形常用的判定方法：

①有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形

平行四边形+邻边相等=◇

②对角线互相垂直的平行四边形是菱形

平行四边形+对角线线互相垂直=◇           

③有四条边相等的四边形是菱形。

四条边相等+四边形=◇

... ... ...

三、课堂练习（复习巩固）

1、菱形的两条对角线长分别是6cm和8cm，则菱形   的周长_____，面积_____。

2、菱形的面积为24cm2,一条对角线的长为6cm，则另一条对角线长为_____；边长为_____。

3、已知菱形的两个邻角的比是1：2，较短的对角线长是  8cm，则菱形的周长为_____。

4、已知菱形的周长为40cm，两对角线的比为3：4，则两对角线的长分别是_____。

... ... ...

1.菱形的定义: ____________________________是菱形

2.菱形的性质:①菱形的四条边_______，

②菱形的对角线______________，并且每一条对角线一组_______对角.

3.下列说法不正确的有_______ (填番号) 

①菱形的对边平行且相等.②菱形的对角线互相平分

③菱形的对角线相等.④菱形的对角线互相垂直.

⑤菱形的一条对角线平分一组对角.⑥菱形的对角相等.

4.菱形的面积公式:①_______②_______ .

5.菱形既是_______图形，又是_______图形. 

... ... ...

菱形ABCD的周长为16，相邻两角的度数比为1：2．

⑴求菱形ABCD的对角线的长；

⑵求菱形ABCD的面积．

补充例题：已知如图，菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE⊥AB，AB=1。

求（1）∠ABC的度数；

（2）对角线AC、BD的长；

（3）菱形ABCD的面积。

... ... ...

1、选择：

（1）.下列命题中正确的是（   ）

A.一组邻边相等的四边形是菱形

B.三条边相等的四边形是菱形

C.四条边相等的四边形是菱形

D.四个角相等的四边形是菱形

（2）.对角线互相垂直且平分的四边形是（   ）

A.矩形  B.一般的平行四边形

C.菱形  D.以上都不对

（3）.下列条件中，不能判定四边形ABCD为菱形的是（  ）

A.AC⊥BD,AC与BD互相平分    B.AB=BC=CD=DA

C.AB=BC,AD=CD,且AC⊥BD   D.AB=CD,AD=BC,AC⊥BD

2、判断下列说法是否正确？为什么？

(1)对角线互相垂直的四边形是菱形；（  ）

(2)对角线互相垂直平分的四边形是菱形；（  ）

(3)对角线互相垂直,且有一组邻边相等的四边形是菱形；（  ）

(4)两条邻边相等，且一条对角线平分一组对角的四边形是菱形．（  ）

... ... ...

《特殊的平行四边形》PPT课件6 创设情景一 正方形是特殊的菱形 情景二 问题: 1.图中CD在平移时，这个图形始终是怎样的图形？ 2.当CD移动到CD位置，此时AD＝AB，四边形ABCD还是矩形吗..

《特殊的平行四边形》PPT课件4 复习回顾 定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 试一试 已知△ABC是Rt△，ABC=Rt，BD是斜边AC上的中线 1.若BD=3cm则AC＝________cm 2 若C=30，A..

《特殊的平行四边形》PPT课件3 复习提问 1.什么叫平行四边形？ 2. 平行四边形与四边形有什么关系？ 3.平行四边形有哪些性质？ ①边:对边平行且相等. ②角:对角相等且邻角互补. ③对角..