《平方差公式》整式的运算PPT课件

问题:什么叫多项式的因式分解?

把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解

判断下列变形过程，哪个是因式分解？

(1)   (x-2)(x-2)=x2- 4 

(2)   x2- 4+3x=(x+2)(x-2)+3x

(3)   7m-7n-7=7(m-n-1)

(4)   4x2-1/9y²=(2x+1/3y)(2x-1/3y)

问题：你学了什么方法进行分解因式？

提公因式法

把下列各式因式分解：

(1)  ax - ay= a( x – y )

(2)  9a2 - 6ab+3a=3a(a-2b+1)

(3)  3a(a+b)-5(a+b)=(a+b)(3a-5)

(4)  -4x2+8ax+2x=-2x(2x-4a-1)

... ... ...

平方差公式：(a+b)(a-b)=a²-b²

平方差公式因式分解特征：

(1)左边是两部分相减(即两项异号)

(2)左边的两部分都可写成某数(或式)的平方

(3)右边是两数之和与这两数之差的积

能运用平方差公式进行因式分解的式子的特点：

⑴ 左边应是一个二项式（如：1-25b²）

⑵ 二项式的每项（不含符号）都可以写成平方的形式。

⑶这两项的符号不同（如：25x²-4y²）

符合上述特点的式子，可以用平方差公式分解因式。

... ... ...

例1.把下列各式分解因式

(1)16a²- 1 

(2) 4x²- m²n²

(3) (9/25)x² -(1/16)y²

(4)–9x² + 4m2

(5)x2y4-9

把下列各式因式分解

1.( x + z )²- ( y + z )²

2.4( a + b)² - 25(a - c)²

3.4a³ - 4a

4.(x + y + z)² - (x – y – z )²

... ... ...

运用公式法分解因式:

(1)  -9x2+4y2=(2y+3x)(2y-3x)

(2) 64x2-y2z2=(8x+yz)(8x-yz)

(3) a2(a+2b)2-4(x+y)2 =(a2+2ab+2x+2y)(a2+2ab-2x-2y)

(4) (a+bx)2-1=(a+bx+1)(a+bx-1)

(5) (x-y+z)2-(2x-3y+4z)2=(3x-4y+5z)(-x+2y-3z)

... ... ...

1.具有的两式（或）两数平方差形式的多项式可运用平方差公式分解因式。

2.公式a² - b² = (a+b)(a-b)中的字母 a , b可以是数，也可以是单项式或多项式，应视具体情形灵活运用。

3.若多项式中有公因式，应先提取公因式，然后再进一步分解因式。

4.分解因式要彻底。要注意每一个因式的形式要最简，直到不能再分解为止。

1.若a=101,b=99,求a2-b2的值.

2.若x=-3,求20x2-60x的值.

3.1993-199能被200整除吗?还能被哪些整数整除?

4. 若n是整数,证明(2n+1)2-(2n-1)2是8的倍数.

... ... ...

巩固练习：1.选择题：

1)下列各式能用平方差公式分解因式的是（    ）

A.   4X²+y²               B.   4 x- (-y)²      

C.   -4 X²-y³             D.   - X²+ y²

2)-4a² +1分解因式的结果应是    （    ）

A.  -(4a+1)(4a-1)      B.    -(2a –1)(2a –1)

C.  -(2a+1)(2a+1)     D.    -(2a+1)(2a-1)

2. 把下列各式分解因式：

1）18-2b²      2) x4    –1    

解：1)原式=2(9-b2)=2(3+b)(3-b)

2)原式=(x²+1)(x+1)(x-1)

3.x2-64因式分解为(       ).

(A)(x-16)(x+4);          (B) (x-32)(x+32);    

(C)(x+16)(x-4);          (D) (x-8)(x+8).

4. 64a8-b2因式分解为(       ).

(A) (64a4-b)(a4+b);    (B) (16a2-b)(4a2+b);

(C) (8a4-b)(8a4+b);    (D) (8a2-b)(8a4+b).

《平方差公式》PPT课件2 多项式与多项式是如何相乘的？ (a+b)(m+n)=am+an+bm+bn （x ＋ 1)( x－1） =x2－1x＋1X－11 =x2－1 算一算，比一比，看谁算得又快又准 计算下列各题 ①（x ＋..

《平方差公式》PPT课件 你能回答多项式的乘法法则吗? (a+b)(m+n)=am+an+bm+bn 算一算，比一比，看谁算得又快又准 (a+b)(a-b)=a2-b2 ①(x＋2)( x－2) ②(1＋3a)( 1－3a) ③(m＋5n)( m..

《平方差公式》整式的运算PPT课件3 教学目标 知识与能力 1．理解平方差公式的意义； 2．掌握平方差公式的结构特征； 3．正确地运用平方差公式进行计算； 4．添括号法则； 5．利用添括..

一、 教材分析

1.教材的地位和作用；

2.教学的重点、难点；

3. 教学的目标；

教材的地位和作用

平方差公式既是学生对前面所学的合并同类项及多项式乘法等知识的延伸，也是为下一节课完全平方公式的推导做铺垫，具有承上启下的作用

平方差公式是学生们在代数部分第一个遇到用抽象的数学符号进行运算的公式，对学生的思维方式的转变具有重大意义

教学的重点：了解并灵活运用公式

教学的难点：平方差公式的推导，准确理解和掌握公式的结构特征

... ... ...

(a+b)(a-b)=a²-b²

右边是乘式中两项的平方差，即：（相同项）2－（相反项）2

左边是两个二项式相乘，并且有一项完全相同；另一项互为相反数

字母a，b可以是数，还可以表示单项式或多项式

(1)   (2-3x)(3x+2)

(2)   (-5x²+3)(-5x²-3)

(3)   (-3-5b)(-3-5b)

步骤：1、判断；2、调整； 3、分步解。

（注意：要用好括号；幂的运算。）

... ... ...

1）掌握平方差公式的内容

2）理解平方差公式中字母的含义

《平方差公式》PPT课件2 多项式与多项式是如何相乘的？ (a+b)(m+n)=am+an+bm+bn （x ＋ 1)( x－1） =x2－1x＋1X－11 =x2－1 算一算，比一比，看谁算得又快又准 计算下列各题 ①（x ＋..

《平方差公式》PPT课件 你能回答多项式的乘法法则吗? (a+b)(m+n)=am+an+bm+bn 算一算，比一比，看谁算得又快又准 (a+b)(a-b)=a2-b2 ①(x＋2)( x－2) ②(1＋3a)( 1－3a) ③(m＋5n)( m..

《平方差公式》整式的运算PPT课件3 教学目标 知识与能力 1．理解平方差公式的意义； 2．掌握平方差公式的结构特征； 3．正确地运用平方差公式进行计算； 4．添括号法则； 5．利用添括..

知识与能力

1．理解平方差公式的意义；

2．掌握平方差公式的结构特征；

3．正确地运用平方差公式进行计算；

4．添括号法则；

5．利用添括号法则灵活应用平方差公式．

过程与方法

1．经历探索平方差公式的过程，会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算；

2．在探索平方差公式的过程中，培养符号感和推理能力；

3．通过添括号法则和去括号法则，培养逆向思维能力．

... ... ...

情感态度与价值观

1．在计算过程中发现规律，并能用符号表示，从而体会数学的简捷美；

2．算法多样化，培养多方位思考问题的习惯，提高合作交流意识和创新精神．

教学重难点

1．平方差公式的推导和应用；

2．掌握公式的结构特征及正确运用公式；

3．理解添括号法则，进一步熟悉乘法公式的合理利用．

1．公式的推导由一般到特殊的过程的理解；

2．正确运用公式，理解公式中字母的广泛含义；

3．理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式；

4．在多项式与多项式的乘法中如何适当添括号达到应用公式的目的．

... ... ...

计算下列多项式的积．

（1）（x＋6）（x－6）

（2）（m＋5)(m－5)

（3）（5x＋2）（5x－2）

（4）（x＋4y）（x－4y）

观察上述多项式，你发现什么规律？运算出结果后，你又发现什么规律？

（1）(x+3)(x−3) =x2−9 =x2−32 ；

（2）(1+2a)(1−2a) =1−4a2=12−(2a)2 ；

（3）(x+4y)(x−4y) =x2−16y2 =x2−(4y)2 ；

（4）(y+5z)(y−5z) =y2−25z2 =y2−(5z)2 ．

像这样具有特殊形式的多项式相乘，我们能否找到一个一般性的公式，并加以熟记，遇到相同形式的多项式相乘时，直接把结果写出来呢？

... ... ...

一般地，我们有

（a＋b)(a－b)=a2－b2

即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．

这个公式叫做（乘法的）平方差公式．

平方差公式的结构特征

(a+b)(a−b)=a2−b2

（1）公式左边两个二项式必须是相同两数的和与差相乘；且左边两括号内的第一项相等、第二项符号相反（互为相反数或式.

（2）公式右边是这两个数的平方差；即右边是左边括号内的第一项的平方减去第二项的平方． 

（3）公式中的 a和b 可以是数，也可以是代数式． 

（4）各因式项数相同．符号相同的放在前面平方，符号相反的放在后面平方．

... ... ...

例1    利用平方差公式计算：

（1）(7+6x)(7−6x)；

（2）(3y ＋ x)(x−3y)；  

（3）(−m＋2n)(−m−2n)．

解：（1） (7+6x)(7−6x)=72-（6x）2=49－36x2

（2）(3y+x) (x−3y) =x2－3y2=x2－9y2

（3）(−m+2n)(−m−2n )=(－m)2－(2n)2=m2－4n2

... ... ...

例3    判断下列式子能否用平方差公式计算：

(1) (a+2b)(a−2b)；(不能) (第一个数不完全一样 )             

(2) (a−2b)(2b−a)；(不能) 

(3) (2a+b)(b+2a)； (不能) 

(4) (a−3b)(a+3b)；(能) −(a2 −9b2)= −a2 + 9b2 ；

(5) (2x+3y)(3y−2x)．(不能) 

... ... ...

添括号法则：

添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号．

也就是说，遇“加”不变，遇“减”都变．

(3a＋b＋c)(3a＋b－c)

=[(3a＋b) ＋c][(3a＋b) －c]

=(3a＋b)2－c2

=9a2＋6ab＋b2－c2

... ... ...

平方差公式

(a+b)(a−b)=a2−b2

两数和与这两数差的积，等于它们的平方差．

对于不符合平方差公式标准形式者，或提取两“−”号中的“−”号，要利用加法交换律，变成公式标准形式后，再用公式． 

《平方差公式》PPT课件2 多项式与多项式是如何相乘的？ (a+b)(m+n)=am+an+bm+bn （x ＋ 1)( x－1） =x2－1x＋1X－11 =x2－1 算一算，比一比，看谁算得又快又准 计算下列各题 ①（x ＋..

《平方差公式》PPT课件 你能回答多项式的乘法法则吗? (a+b)(m+n)=am+an+bm+bn 算一算，比一比，看谁算得又快又准 (a+b)(a-b)=a2-b2 ①(x＋2)( x－2) ②(1＋3a)( 1－3a) ③(m＋5n)( m..

《平方差公式》整式的运算PPT课件2 一、 教材分析 1.教材的地位和作用； 2.教学的重点、难点； 3. 教学的目标； 教材的地位和作用 平方差公式既是学生对前面所学的合并同类项及多项式..

多项式与多项式是如何相乘的？

(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn

（x ＋ 1)( x－1）

=x2－1·x＋1·X－1·1

=x2－1

算一算，比一比，看谁算得又快又准

计算下列各题

①（x ＋ 4)( x－4）

②（1 ＋ 2a)( 1－2a） 

③（m＋ 6n)( m－6n） 

④（5y ＋ z)(5y－z）

... ... ...

平方差公式：

(a+b)(a−b)=a2−b2

两数和与这两数差的积,等于这两数的平方差.

公式变形:

1、（a – b ) ( a + b) = a2 - b2

2、（b + a )( -b + a ) = a2 - b2

... ... ...

例1、用平方差公式计算

(1)（3x+2y)(3x-2y)

解：原式＝ (3x)2 - (2y)2

＝9x2 - 4y2

1、先把要计算的式子与公式对照, 

2、哪个是 a 哪个是 b

... ... ...

利用平方差公式计算：

（1）(a+3b)(a - 3b)

=(a)2－(3b)2 

=a2－9b2 ；

（2）(3+2a)(－3+2a)

=(2a+3)(2a-3)

=(2a)2－32 

=4 a2－9；

（3）(－2x2－y)(－2x2+y)

=(-2x2 )2－y2 

=4x4－y2.

... ... ...

通过本节课的内容，你有哪些收获？ 

一个公式：（a+b)(a-b)=a2-b2

(1)简化某些多项式的乘法运算

(2)提供有理数乘法的速算方法

公式中的a，b可表示

(1)单项式

(2)具体数

(3)多项式

《平方差公式》PPT课件 你能回答多项式的乘法法则吗? (a+b)(m+n)=am+an+bm+bn 算一算，比一比，看谁算得又快又准 (a+b)(a-b)=a2-b2 ①(x＋2)( x－2) ②(1＋3a)( 1－3a) ③(m＋5n)( m..

《平方差公式》整式的运算PPT课件3 教学目标 知识与能力 1．理解平方差公式的意义； 2．掌握平方差公式的结构特征； 3．正确地运用平方差公式进行计算； 4．添括号法则； 5．利用添括..

《平方差公式》整式的运算PPT课件2 一、 教材分析 1.教材的地位和作用； 2.教学的重点、难点； 3. 教学的目标； 教材的地位和作用 平方差公式既是学生对前面所学的合并同类项及多项式..

1、  经历探索同底数幂乘法运算性质的过程，进一步体会幂的意义，发展推理能力和有条理的表达能力。

2、 了解同底数幂乘法的运算性质，并能解决一些实际问题。

1、计算下列各式：

（1）102×103

（2）105×108

（3）10m×10n（m，n都是正整数）.

你发现了什么？

2、2m×2n等于什么？（1/7）m×（1/7）n  呢？

（m，n 都是正整数）

... ... ...

am · an等于什么（m,n都是正整数)?为什么？

例1.  计算：

(1)(-3)7×(-3)6 ;   (2)  (1/111)3×(1/111);

(3) -x3·x5;          (4)   b2m·b2m+1.

例2   光的速度约为3×108千米/秒，太阳光照射到地球大约需要5×102秒.地球距离太阳大约有多远？

解：  3×108×5×10²=15×1010=1.5×1011(千米)

地球距离太阳大约有1.5×108千米.

... ... ...

（1）x10 · x       （2）10×102×104 

（3） x5 ·x ·x3    （4）y4·y3·y2·y 

（1）x10 ·x = x10+1= x11 

（2）10×102×104 =101+2+4 =107

（3）x5 ·x ·x3 = x5+1+3 = x9

（4）y4 ·y3 ·y2 ·y= y4+3+2+1= y10

（二）补充练习：判断（正确的打“√”，错误的打“×”）

(1) x3·x5=x15(    )    (2) x·x3=x3     (   )

(3) x3+x5=x8(    )    (3)x2·x2=2x4  (   )

(5)(-x)2 · (-x)3 = (-x)5= -x5(   ) 

(6)a3·a2 - a2·a3 = 0(   ) 

(7)a3·b5=(ab)8(    ) (8)y7+y7=y14  (   )

... ... ...

《同底数幂的乘法》PPT下载 第一部分内容：课堂问题 问题 一种电子计算机每秒可进行1014 次运算，它工作103 秒可进行多少次运算？ 1014103＝(1010)(101010) ＝（101010） ＝1017 即：..

《同底数幂的乘法》PPT 第一部分内容：知识再现 你能说出an的意义吗？ 表示n个a的积的运算. 填空： 1、2222=2（ ） 2、aaaaaa=a（ ） 3、aaaa=a（ ） 总结法则 同底数幂的乘法法则： ..

《同底数幂的乘法》PPT课件3 宇宙飞船载人航天飞行是我国航天事业的伟大壮举。它飞行的速度约为104米/秒，每天飞行时间约为105秒。它每天约飞行了多少米? 解：104105=109（米） 答：..

说出an的乘法意义,并将下列各式写成乘法形式:

(1)  108=10×10×10×10×10×10×10×10

(2)  (-2)4=(-2)×(-2)×(-2)×(-2)

请同学们先根据自己的理解，解答下题。

103 ×102 = （10×10×10）×（10×10）（乘方的意义）

=10×10×10×10×10

=105 （乘法结合律）

... ... ...

1.1幂的乘法

am · an =  am+n

例1：计算

(1) x2 · x5               (2)  a · a4

解：(1) x2 · x5 =x2+5 =x7  

(2) a · a4 = a 1+4=a5

下面的计算对不对？如果不对，怎样改正？

（1）b5 · b5= 2b5（    ）（2）b5 + b5 = b10  （   ）

b5  · b5= b10                         b5 + b5 = 2b5

（3）x5 ·x2 = x10 (     ) （4）y5 +2 y5 =3y10  (     )

x5  · x2 = x7                        y5 + 2 y5 =3y5  

（5）c · c3 = c3 (     )  （6）m + m3 = m4    (     ) 

c · c3 = c4                         m + m3 = m + m3 

... ... ...

自我检测: 

1、判断正误：

⑴ 23+24=27  （    ）    ⑵ 23×24=27   （    ）

⑶ x2·x6=x12  （    ）    ⑷ x6·x6 =2x6   （    ）

2、选择：

⑴x2m+2可写成 （     ）

A 、2xm+1       B、x2m+x2    

C、x2·xm+1      D、x2m·x2

⑵在等式a2·a4· (      )=a11中，括号里面的代数式应当是（    ）

A、a7    B、a6     C、a5   D、a4

《同底数幂的乘法》PPT下载 第一部分内容：课堂问题 问题 一种电子计算机每秒可进行1014 次运算，它工作103 秒可进行多少次运算？ 1014103＝(1010)(101010) ＝（101010） ＝1017 即：..

《同底数幂的乘法》PPT 第一部分内容：知识再现 你能说出an的意义吗？ 表示n个a的积的运算. 填空： 1、2222=2（ ） 2、aaaaaa=a（ ） 3、aaaa=a（ ） 总结法则 同底数幂的乘法法则： ..

《同底数幂的乘法》PPT课件3 宇宙飞船载人航天飞行是我国航天事业的伟大壮举。它飞行的速度约为104米/秒，每天飞行时间约为105秒。它每天约飞行了多少米? 解：104105=109（米） 答：..

三种运算的主要区别

归纳：同底数幂相乘： （1）同底数（2）相乘

合并同类项： （1）同底数同指数（2）相加

幂的乘方：乘方再乘方的形式

探索 & 交流

(1) 根据乘方定义(幂的意义)，(ab)3表示什么?

(2) 为了计算(化简)算式ab·ab·ab，可以应用乘法的交换律和结合律。又可以把它写成什么形式?

(3)由特殊的 (ab)3=a3b3 出发, 你能想到一般的公式吗? 

(ab)3=ab·ab·ab=a·a·a · b·b·b=a3·b3

... ... ...

积的乘方法则

(ab)n = an·bn（m,n都是正整数）

法则：积的乘方，先把积中各因式分别乘方，再把所得的幂相乘。（即等于积中各因式乘方的积。）

你能说出法则中“因式”这两个字的意义吗? 

(a+b)n，可以用积的乘方法则计算吗?  

即 “(a+b)n= an·bn  ”成立吗？

又“(a+b)n= an+an ”成立吗？

... ... ...

公 式 的 拓 展 

三个或三个以上的积的乘方，是否也具有上面的性质? 怎样用公式表示?

(abc)n=an·bn·cn

【例2】计算：

(1)(3x)2 ;  (2)(-2b)5 ; (3)(-2xy)4 ;  (4)(3a2)n . 

1、计算：

(1) (- 3n)3 ;  (2) (5xy)3 ; (3) –a3 +(–4a)2 a 。

... ... ...

本节课你学到了什么?

幂的意义:n个a   a·a· … ·a=an

同底数幂的乘法运算法则：am · an=am+n

幂的乘方运算法则:   (ab)n=anbn

积的乘方=每个因式分别乘方后的积 .

反向使用am · an =am+n、(am)n =amn 、an·bn=(ab)n

可使某些计算简捷。

《幂的乘方与积的乘方》PPT课件 第一部分内容：课堂思考 1.若a2n=5,求a6n 2.若am=2 , a2n=7, 求a3m+4n 3 比较2100与375的大小. 4 已知4483=2x,求X的值. 知识回顾 填空： 1. am+am=___..

《幂的乘方与积的乘方》PPT 第一部分内容：知识回顾 an=aa a am an=am+n（m、n都是正整数） 做一做 （1）一个正方体的边长是102cm，则它的体积是多少？ (102)3=101010=102+2+2=106 （..

《幂的乘方与积的乘方》整式的运算PPT课件3 知识回顾 1、同底数的幂相乘 法则：同底数的幂相乘，底数不变，指数相加。 数学符号表示： （其中m、n为正整数） 2、幂的乘方 法则：幂的..

1、同底数的幂相乘

法则：同底数的幂相乘，底数不变，指数相加。

数学符号表示：

（其中m、n为正整数）

2、幂的乘方

法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。

数学符号表示：（am）n=amn

（其中m、n为正整数）

3、积的乘方

法则：积的乘方，先把积中各因式分别乘方，再把所得的幂相乘。（即等于积中各因式乘方的积。）

符号表示：

(ab)n=anbn,其中n位正整数；

(abc)n=anbncn其中n位正整数。

... ... ...

下面的计算对不对？如果不对，怎样改正？

（1）b5  · b5= 2b5 （    ）    （2）b5 + b5 = b10  （   ）

b5  · b5= b10                          b5 + b5 = 2b5

（3）x5  ·x5 = x25   (     )      （4）y5  · y5 = 2y10     (     )

x5  · x5 = x10                          y5  · y5 =y10

（5）c · c3 = c3         (     )      （6）m + m3 = m4    (     ) 

c · c3 = c4                              m + m3 = m + m3 

(1) a ·a7- a4 ·a4 =____；

(2)(1/10)5 ×(1/10)3 =____； 

(3)(-2 x2 y3)2 =____；

(4)(-2 x2 )3 =____；

... ... ...

1.下面的计算对吗? 错的请改正:

(1) (43)5=48           (2) (-28)3=(-2)24

(3) [(-3)5]3=-315    (4)  (52)4×5=58

2.说出下面每一步计算理由,并将它们填入括号内:

(p2)3.(p5)2

=p6.p10 (          )

=p6+10  (          )

... ... ...

1．注意符号问题 

例1 判断下列等式是否成立：

① (-x)2＝-x2，

② (-x)3＝-x3，

③ (x-y)2＝(y-x)2，

④ (x-y)3＝(y-x)3，

⑤ x-a-b＝x-(a+b)，

⑥ x+a-b＝x-(b-a)．

能力挑战:

1.比较大小:

(-2) ×(-2)2× (-2)3×…× (-2)9× (-2)10          0.

2.已知,数a=2×103 , b=3×104 , c=5×105.

那么a·b·c的值中,整数部分有______位.

3.若10n×10m×10=1000,则n+m=_______.

《幂的乘方与积的乘方》PPT课件 第一部分内容：课堂思考 1.若a2n=5,求a6n 2.若am=2 , a2n=7, 求a3m+4n 3 比较2100与375的大小. 4 已知4483=2x,求X的值. 知识回顾 填空： 1. am+am=___..

《幂的乘方与积的乘方》PPT 第一部分内容：知识回顾 an=aa a am an=am+n（m、n都是正整数） 做一做 （1）一个正方体的边长是102cm，则它的体积是多少？ (102)3=101010=102+2+2=106 （..

《幂的乘方与积的乘方》整式的运算PPT课件2 三种运算的主要区别 归纳：同底数幂相乘： （1）同底数（2）相乘 合并同类项： （1）同底数同指数（2）相加 幂的乘方：乘方再乘方的形式 ..